מהי הוכחה באינדוקציהאינדוקציה 571 · שיעור 1

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 1: מהי הוכחה באינדוקציה

פרק 1 – מהי אינדוקציה והוכחת נוסחת סכום

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

הסבר

הוכחה באינדוקציה

הרעיון: כמו שורה של אבני דומינו. אם האבן הראשונה נופלת, ואם כל אבן שנופלת מפילה את האבן שאחריה – אז כל האבנים נופלות.

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בודקים שהטענה נכונה בעבור n = 1 (האבן הראשונה נופלת).

שלב 2 – הנחת האינדוקציה: מניחים שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו.

שלב 3 – צעד האינדוקציה: מוכיחים, בעזרת ההנחה, שהטענה נכונה גם בעבור n = k + 1 (כל אבן מפילה את הבאה).

שלב 4 – מסקנה: לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

בבגרות חייבים לכתוב את כל ארבעת השלבים. בלי בסיס או בלי צעד – זו לא הוכחה.

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2

הוכחה באינדוקציה

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: יש איבר אחד בלבד:

אגף ימין:

1 · (1 + 1)2 = 22 = 1 ✓

שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה בעבור n = 1.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

1 + 2 + … + k = k(k + 1)2

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

1 + 2 + … + k + (k + 1)

= (k + 1)(k + 2)2

אגף שמאל: הסכום עד k, ועוד האיבר האחרון (k + 1). נציב במקום הסכום עד k את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

1 + 2 + … + k + (k + 1)

= k(k + 1)2 + (k + 1)

📐 הנחת האינדוקציה

1 + 2 + … + k = k(k + 1)2

הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2

= k(k + 1)2 + (k + 1)

נוציא גורם משותף (k + 1):

📐 הוצאת גורם משותף

= (k + 1)(k2 + 1)

= (k + 1) · k + 22

= (k + 1)(k + 2)2 ✓

קיבלנו בדיוק את אגף ימין שרצינו להוכיח.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא